Skip to main content

Теория: Решение уравнений смешанных типов (без решений)

Задание

Решить уравнение:

\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5) \)

В ответ введите произведение корней.

20
Решение

Для того, чтобы решить уравнение

\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5) \)

перепишем его в виде

\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0. \)

Выенесим общие множители за скобку

\(\displaystyle (x-3)\color{red}{(x-4)(x-5)}-(x-2)\color{red}{(x-4)(x-5)}=0,\)

\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( (x-3)-(x-2)\right)=0,\)

раскроим скобки

\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( x-3-x+2\right)=0,\)

\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( -1\right)=0.\)

Произведение множителей равно нулю если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно,

\(\displaystyle (x-4)(x-5)(-1)=0,\)

если \(\displaystyle x-4=0\) или \(\displaystyle x-5=0.\)

Таким образом, решения данного уравнения

\(\displaystyle x_1=4,\, x_2=5.\)

Найдем произведение корней,

\(\displaystyle 4\cdot 5=20.\)

Ответ:\(\displaystyle 20.\)