Skip to main content

Теория: Решение уравнений смешанных типов (без решений)

Задание

Решить уравнение:

\(\displaystyle x^2-2x+\sqrt{ 3-x}= \sqrt{ 3-x}+8 \)

Если корень только один, то вторую ячейку оставьте пустой.

\(\displaystyle x_1=\)

\(\displaystyle x_2=\)

Решение

Так как уравнение содержит выражение под знаком корня, то это накладывает ограничение на корни уравнения.
А именно, подкоренное выражение не может быть отрицательным, \(\displaystyle 3-x \ge 0,\) то есть \(\displaystyle x\le 3.\)

Сократим корень с левой и правой части уравнения,

\(\displaystyle x^2-2x+\cancel{\sqrt{ 3-x}}= \cancel{\sqrt{ 3-x}}+8, \)

\(\displaystyle x^2-2x= 8, \)

получаем квадратное уравнение,

\(\displaystyle x^2-2x-8=0, \)

\(\displaystyle {\rm D}=(-2)^2-4\cdot (-8),\)

\(\displaystyle {\rm D}=4+32=36,\)

\(\displaystyle {\rm D}=36,\)

\(\displaystyle x_{1}=\frac{-(-2)+\sqrt{36}}{2}\) и \(\displaystyle x_{2}=\frac{-(-2)-\sqrt{36}}{2},\)

\(\displaystyle x_{1}=4\) и \(\displaystyle x_{2}=-2.\)

 Так как \(\displaystyle x\le 3,\)  то \(\displaystyle x=4\) не является решением, следовательно \(\displaystyle x=-2.\)

Ответ:\(\displaystyle -2.\)