Решить уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-3=0{\small .} \)
В ответ введите сумму корней.
Для того чтобы свести уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-3=0 \)
к квадратному, сделаем замену \(\displaystyle t=\frac{1}{x-1}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle t^2= \frac{1}{(x-1)^2}{\small }\) и получаем квадратное уравнение
\(\displaystyle t^2+2t-3=0{\small .}\)
Данное квадратное уравнение имеет корни \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=-3{\small .}\)
Так как \(\displaystyle t=\frac{1}{x-1}{\small ,}\) то при замене переменной получаем:
- из равенства \(\displaystyle t=1\) получаем уравнение \(\displaystyle \frac{1}{x-1}=1\)
- из равенства \(\displaystyle t=-3\) уравнение \(\displaystyle \frac{1}{x-1}=-3{\small .}\)
Решим рациональные уравнения:
\(\displaystyle \frac{1}{x-1}=1{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{x-1}-1=0{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1-x+1}{x-1}=0{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{2-x}{x-1}=0{\small ,}\) \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x \,\cancel{=}\,1{\small,}\) \(\displaystyle x=2{\small.}\) | \(\displaystyle \frac{1}{x-1}=-3{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{x-1}+3=0{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{1+3x-3}{x-1}=0{\small ,}\) \(\displaystyle \frac{3x-2}{x-1}=0{\small ,}\) \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) и \(\displaystyle x \,\cancel{=}\,1{\small,}\) \(\displaystyle x=\frac{2}{3}{\small.}\) |
Сумма корней:
\(\displaystyle 2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{8}{3}{\small .}\)