Решить уравнение:
\(\displaystyle (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2){\small .} \)
В ответ введите произведение корней.
Так как \(\displaystyle x^2+4x+4=(x+4)^2{\small ,}\) то
\(\displaystyle (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2){\small ,} \)
\(\displaystyle (x-1)(x+2)^2=4(x+2){\small ,} \)
\(\displaystyle (x-1)(x+2)^2-4(x+2)=0{\small ,} \)
\(\displaystyle (x+2)((x-1)(x+2)-4)=0{\small .} \)
Данное уравнение равносильно совокупности:
\(\displaystyle x+2=0\) или \(\displaystyle (x-1)(x+2)-4=0{\small .} \)
\(\displaystyle x=-2\) корень уравнения \(\displaystyle x+2=0{\small .} \)
Решим второе уравнение:
\(\displaystyle (x-1)(x+2)-4=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x^2+x-2-4=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x^2+x-6=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x=-3\) и \(\displaystyle x=2\) решения данного уравнения.
Таким образом, \(\displaystyle -2,\, -3,\, 2\) – все корни уравнения \(\displaystyle (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2){\small .} \)
Найдём произведение корней:
\(\displaystyle (-2)\cdot (-3)\cdot 1=12{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)