Skip to main content

Теория: 05 Сжатие или растяжение вдоль оси OY и график \(\displaystyle \small y=-k\cdot x^2\)

Задание

Запишите уравнение параболы, полученной из параболы \(\displaystyle y=-x^2\) её сжатием вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\) в \(\displaystyle \frac{7}{6}\) раза.

 
\(\displaystyle y=\)
-\frac{6}{7}
\(\displaystyle x^2\)
Решение

Воспользуемся определением.

Определение

График функции

Графиком функции \(\displaystyle y=\color{blue}{f(x)}\) на плоскости называется множество точек

\(\displaystyle \{(x;\, \color{blue}{f(x)})| \, x\) принадлежит области определения\(\displaystyle \}{\small .}\)

Графиком параболы \(\displaystyle y=-x^2\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(x;\, -x^2) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)

Сжать график параболы \(\displaystyle y=-x^2\) вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) означает сжать каждую точку этого графика вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .} \)

Значит, нужно взять каждую точку из множества точек  \(\displaystyle \{(x;\, -x^2) \}\) и сжать ее вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .} \)


Возьмем одну точку вида \(\displaystyle (x;\, -x^2)\) и сожмем ее в \(\displaystyle \frac{7}{6}\) раза вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small ,} \) то есть поделим значение ординаты на \(\displaystyle \frac{7}{6}{\small .}\)

Если ординату этой точки \(\displaystyle (x;\, -x^2)\) поделить на \(\displaystyle \color{blue}{\frac{7}{6}}{ \small ,}\) то это будет точка с координатами \(\displaystyle \left(x;\, \frac{-x^2}{\color{blue}{\frac{7}{6}}}\right)=(x;\, -\color{blue}{\frac{6}{7}}x^2){\small : }\)


Проделывая такую же операцию с каждой точкой вида \(\displaystyle (x;\,-x^2) { \small ,}\) получаем множество точек \(\displaystyle \{(x;\, -\color{blue}{\frac{6}{7}}x^2) \}{ \small ,}\) что является графиком параболы \(\displaystyle y=-\color{blue}{\frac{6}{7}}x^2{\small :}\)

Ответ: \(\displaystyle y=-\frac{6}{7}x^2{\small .}\)