Skip to main content

Теория: 05 Сжатие или растяжение вдоль оси OY и график \(\displaystyle \small y=-k\cdot x^2\)

Задание

График квадратичной функции \(\displaystyle y=-0{,}2x^2\) получен из квадратичной функции \(\displaystyle y=-x^2\)

путём вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) в
5
раз.

Решение

Графиком параболы \(\displaystyle y=\color{blue}{ -x^2}\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(\color{blue}{ x};\, \color{blue}{ -x^2}) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)

Графиком параболы \(\displaystyle y=\color{red}{ -0{,}2x^2}\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(\color{red}{ x};\, \color{red}{ -0{,}2x^2}) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)

Сжатие вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) параболы \(\displaystyle y=-x^2 \) в \(\displaystyle k \) раз – это деление координаты \(\displaystyle y \) для всех точек \(\displaystyle (x; -x^2) \) графика на \(\displaystyle k \) для \(\displaystyle k>1{\small .}\)


Сравним, как изменилась координата \(\displaystyle y \) для парабол \(\displaystyle y=\color{blue}{-x^2} \) и \(\displaystyle y=\color{red}{-0{,}2x^2}{\small :} \)

\(\displaystyle \color{blue}{-x^2}\longrightarrow\,\color{red}{-0{,}2x^2}= \color{red}{-\frac{2}{ 10 }x^2}= \color{red}{-\frac{x^2}{\phantom{1}\frac{ 10}{ 2 }\phantom{1}}}=\color{red}{ -\frac{ x^2}{ 5 }}\)

То есть было \(\displaystyle \color{blue}{ -x^2}{ \small ,} \) а стало \(\displaystyle \color{red}{ -\frac{ x^2}{ 5 }}{\small .} \) Значит, координата \(\displaystyle y \) делилась на

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{ -x^2}}{ \phantom{1}\color{red}{ -\frac{ x^2}{ 5 }}\phantom{1}}=5{\small .} \)


Так как имело место деление на \(\displaystyle 5>1{ \small ,} \) то это означает, что координата \(\displaystyle y \) делилась на \(\displaystyle 5>1{\small .} \)

Значит, имело место сжатие графика параболы \(\displaystyle y=-x^2 \) вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) в \(\displaystyle 5\) раза.

Ответ: график параболы \(\displaystyle y=-x^2 \) сжали вдоль оси \(\displaystyle \rm OY \) в \(\displaystyle 5\) раза.