Вынесите общий множитель за скобки так, чтобы выполнялось равенство:
\(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}=\)\(\displaystyle \left(s-t\, \right)^2\)
Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2},\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.
Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}.\)
1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 17,\, 34\) и \(\displaystyle 17.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем
\(\displaystyle НОД(17,\,34,\, 17)=17.\)
1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.
Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 17s^{\, 3},\, 34s^{\,2}t, \, 17st^{\, 2}\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.
| \(\displaystyle 17s^{\, 3}\) | \(\displaystyle 34s^{\,2}t\) | \(\displaystyle 17st^{\, 2}\) | ||
| \(\displaystyle s\) | есть \(\displaystyle s^{\, 3}\) | есть \(\displaystyle s^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle s=s^{\, 1}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle t\) | нет параметра | есть \(\displaystyle t=t^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle t^{\, 2}\) | не является общим параметром |
Следовательно, только \(\displaystyle s\) является общим параметром.
При этом:
Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно \(\displaystyle s^{\,1}=s.\)
Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}\) равен \(\displaystyle 17s.\)
2. Теперь нужно вынести в исходном выражении вынести множитель \(\displaystyle 17s\) за скобки. Поскольку требуется получить квадрат разности, вынесем общий множитель со знаком минус:
\(\displaystyle \begin{aligned}-17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}&=-17s\cdot\left( -\frac{17s^{\, 3}}{-17s}+\frac{34s^{\,2}t}{-17s}-\frac{17st^{\, 2}}{-17s}\right)=\\[10px]&=-17s \left( s^{\, 2}-2st+t^{\, 2}\right).\end{aligned}\)
3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата разности:
\(\displaystyle -17s \left( s^{\, 2}-2st+t^{\, 2}\right)=-17s\,(s-t\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle -17s^{\, 3}+34s^{\,2}t-17st^{\, 2}={\bf -17}\pmb{s}\,(\pmb{s}-\pmb{t}\,)^{\bf 2}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf -17}\pmb{s}\,(\pmb{s}-\pmb{t}\,)^{\bf 2}.\)