Найдите общий множитель и выделите полный квадрат разности:
\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz,\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.
Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz.\)
1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 63,\, 210\) и \(\displaystyle 175.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем
\(\displaystyle НОД(63,\,210,\, 175)=7.\)
1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.
Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 63abyz^{\, 3},\, 210ab^{\,2}yz^{\,2}, \, 175ab^{\, 3}yz\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.
| \(\displaystyle 63abyz^{\, 3}\) | \(\displaystyle 210ab^{\,2}yz^{\,2}\) | \(\displaystyle 175ab^{\, 3}yz\) | ||
| \(\displaystyle a\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle b\) | есть \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle b^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle b^{\, 3}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle y\) | есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle z\) | есть \(\displaystyle z^{\, 3}\) | есть \(\displaystyle z^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle z=z^{\, 1}\) | общий параметр |
Следовательно, параметры \(\displaystyle a,\,b,\,y\) и \(\displaystyle z\) – это общие параметры.
При этом:- параметр \(\displaystyle a\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle a^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=a^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle b\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 2\) и \(\displaystyle 3\) степенях, откуда \(\displaystyle b^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=b^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle y\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle y^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=y^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle z\) встречается в \(\displaystyle 3,\, 2\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle z^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=z^{\,1}.\)
Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно
\(\displaystyle a^{\,1}b^{\,1}y^{\,1}z^{\,1}=abyz.\)
Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz\) равен \(\displaystyle 7abyz.\)
2. Теперь нужно вынести в исходном выражении вынести множитель \(\displaystyle 7abyz\) за скобки. Поскольку требуется получить квадрат выражения, то вынесем общий множитель со знаком минус:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{-2em} -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz= \\[10px]\kern{5em} =-7abyz\cdot\left( -\frac{63abyz^{\, 3}}{-7abyz}+\frac{210ab^{\,2}yz^{\,2}}{-7abyz}-\frac{175ab^{\, 3}yz}{-7abyz}\right)=\\[10px]\kern{18em} =-7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right).\end{array}\)
3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата суммы:
\(\displaystyle -7abyz \left( 9z^{\, 2}-30bz+25b^{\,2}\right)=-7abyz\,(3z-5b\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle -63abyz^{\, 3}+210ab^{\,2}yz^{\,2}-175ab^{\, 3}yz={\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf -7}\pmb{a}\pmb{b}\pmb{y}\pmb{z}\,({\bf 3}\pmb{z}-{\bf 5}\pmb{b}\,)^{\bf 2}.\)