Skip to main content

Теория: Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Задание

Упростите выражение:
 

\(\displaystyle (-3x^{\,2}y^{\,2})^2\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}+5x^{\,5}\cdot z\cdot y^{\,6}\cdot (-3)y^{\, 2}z^{\,2}-7x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=\)
14x^5y^8z^3


В ответе все одночлены должны быть записаны в стандартном виде.

Решение

Для того, чтобы найти сумму или разность одночленов, их надо представить в стандартном виде. В выражении

\(\displaystyle (-3x^{\,2}y^{\,2})^2\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}+5x^{\,5}\cdot z\cdot y^{\,6}\cdot (-3)y^{\, 2}z^{\,2}-7x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}\)

первый и второй члены не явлются одночленами в стандартном виде.

Преобразуем их:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\quad \begin{aligned}{\small 1)\,} (-3x^{\,2}y^{\,2})^2\cdot x\cdot 4y^{\,4}&\cdot z^{\,3}= (-3)^{2}\cdot x^{\,2\cdot 2}\cdot y^{\,2\cdot 2}\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}= 9\cdot x^{\,4}\cdot y^{\,4}\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}=\\ &=(9\cdot 4)\cdot (x^{\,4}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,4}\cdot y^{\,4})\cdot z^{\,3}= 36\cdot x^{\,4+1}\cdot y^{\,4+4}\cdot z^{\,3}= 36x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3} {\small ;}\end{aligned}\\ &\quad \begin{aligned}{\small 2)\,} 5x^{\,5}\cdot z\cdot y^{\,6}\cdot (-3)y^{\, 2}z^{\,2}= (5\cdot (-3))\cdot x^{\,5}\cdot (\,y^{\,6}\cdot y^{\, 2})\cdot (z\cdot z^{\,2})&= -15\cdot x^{\,5}\cdot y^{\,6+2}\cdot z^{\,1+2}=\\ &=-15x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3} {\small .}\end{aligned} \end{aligned}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} (-3x^{\,2}y^{\,2})^2\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}+5x^{\,5}\cdot z\cdot y^{\,6}\cdot &(-3)y^{\, 2}z^{\,2}-7x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=\\ &=36x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}-15x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}-7x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}{\small .} \end{aligned}\)

 

Произведём сложение и вычитание одночленов в порядке их следования (слева направо).

1. Вычтем два первых одночлена:

\(\displaystyle \color{blue}{36}x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}-\color{blue}{15}x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=(\color{blue}{36}-\color{blue}{15})x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=\color{blue}{21}x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}{\small .}\)

2. Затем вычтем из результата третий одночлен:

\(\displaystyle \color{blue}{21}x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}-\color{green}{7}x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=(\color{blue}{21}-\color{green}{7})x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=14x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}{\small .}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle (-3x^{\,2}y^{\,2})^2\cdot x\cdot 4y^{\,4}\cdot z^{\,3}+5x^{\,5}\cdot z\cdot y^{\,6}\cdot (-3)y^{\, 2}z^{\,2}-7x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3}=14x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3} {\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 14x^{\,5}y^{\,8}z^{\,3} {\small .}\)