Skip to main content

Теория: Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Задание

Выполните действия с одночленами:
 

\(\displaystyle x^{\,2}\cdot y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot 3y^{\,4}\cdot z^{\,3} \, + \, 4y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,11}\cdot 4z^{\,7} \, - \, 7x^{\,4}\cdot y^{\,3}\cdot z\cdot x^{\,5} \, +\)
\(\displaystyle +\, y\cdot z^{\,8}\cdot y^{\,7} \, - \, 10\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,2}\cdot 3z^{\,4}\cdot y\cdot x^{\,4}\cdot z^{\,5} \, - \, z\cdot 3y^{\,2}\cdot x^{\,2}\cdot y\cdot x^{\,7}=\)
\(\displaystyle =\)
?


В ответе все одночлены должны быть записаны в стандартном виде.

Ответ: \(\displaystyle 3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}-14x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}-10x^{\,9}y^{\,3}z{\small .}\)

Решение

Для того, чтобы найти сумму или разность одночленов, их надо представить в стандартном виде. В выражении

\(\displaystyle \begin{aligned} x^{\,2}\cdot y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot 3y^{\,4}\cdot z^{\,3}+4y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,11}\cdot &4z^{\,7}-7x^{\,4}\cdot y^{\,3}\cdot z\cdot x^{\,5}+y\cdot z^{\,8}\cdot y^{\,7}-\\ &-10\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,2}\cdot 3z^{\,4}\cdot y\cdot x^{\,4}\cdot z^{\,5}-z\cdot 3y^{\,2}\cdot x^{\,2}\cdot y\cdot x^{\,7} \end{aligned}\)

не все одночлены записаны не в стандартном виде. Преобразуем их:

\(\displaystyle \begin{array}{l} x^{\,2}\cdot y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot 3y^{\,4}\cdot z^{\,3}+4y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,11}\cdot 4z^{\,7}-7x^{\,4}\cdot y^{\,3}\cdot z\cdot x^{\,5}+y\cdot z^{\,8}\cdot y^{\,7}-\\ \kern{16em} -10\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,2}\cdot 3z^{\,4}\cdot y\cdot x^{\,4}\cdot z^{\,5}-z\cdot 3y^{\,2}\cdot x^{\,2}\cdot y\cdot x^{\,7}=\\ =3\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,2})\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,4})\cdot z^{\,3}+(4\cdot 4)\cdot x^{\,11}\cdot y^{\,3}\cdot (z^{\,2}\cdot z^{\,7})-7\cdot (x^{\,4}\cdot x^{\,5})\cdot y^{\,3}\cdot z+(\,y\cdot y^{\,7})\cdot z^{\,8}-\\ \kern{10em} -(10\cdot 3)\cdot (x^{\,7}\cdot x^{\,4})\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot (z^{\,4}\cdot z^{\,5})-3\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,7})\cdot (\,y^{\,2}\cdot y\,)\cdot z=\\ =3\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,3+4}\cdot z^{\,3}+16\cdot x^{\,11}\cdot y^{\,3}\cdot z^{\,2+7}-7\cdot x^{\,4+5}\cdot y^{\,3}\cdot z+y^{\,1+7}\cdot z^{\,8}-\\ \kern{20em} -30\cdot x^{\,7+4}\cdot y^{\,2+1}\cdot z^{\,4+5}-3\cdot x^{\,2+7}\cdot y^{\,2+1}\cdot z=\\ \kern{10em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}+16x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-7x^{\,9}y^{\,3}z+y^{\,8}z^{\,8}-30x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-3x^{\,9}y^{\,3}z {\small .}\end{array}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{array}{l} x^{\,2}\cdot y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot 3y^{\,4}\cdot z^{\,3}+4y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,11}\cdot 4z^{\,7}-7x^{\,4}\cdot y^{\,3}\cdot z\cdot x^{\,5}+y\cdot z^{\,8}\cdot y^{\,7}-\\ \kern{16em} -10\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,2}\cdot 3z^{\,4}\cdot y\cdot x^{\,4}\cdot z^{\,5}-z\cdot 3y^{\,2}\cdot x^{\,2}\cdot y\cdot x^{\,7}=\\ \kern{10em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}+16x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-7x^{\,9}y^{\,3}z+y^{\,8}z^{\,8}-30x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-3x^{\,9}y^{\,3}z {\small .}\end{array}\)

 

Определим в полученном выражении те слагаемые, которые являются подобными одночленами.

Отбросим последовательно числовые коэффициенты у каждого слагаемого:

\(\displaystyle \color{blue}{3}x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3} \rightarrow x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{16}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9} \rightarrow x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{7}x^{\,9}y^{\,3}z \rightarrow x^{\,9}y^{\,3}z{\small ,}\)

\(\displaystyle y^{\,8}z^{\,8} \rightarrow y^{\,8}z^{\,8}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{30}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9} \rightarrow x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{3}x^{\,9}y^{\,3}z \rightarrow x^{\,9}y^{\,3}z{\small .}\)

Один и тот же одночлен получился во втором и пятом случаях (это  \(\displaystyle x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}\)), а также в третьем и шестом (это  \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,3}z\)).

 

Выполним сложение и вычитание этих подобных одночленов:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}+\color{blue}{16}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-\color{green}{7}x^{\,9}y^{\,3}z+y^{\,8}z^{\,8}-\color{blue}{30}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-\color{green}{3}x^{\,9}y^{\,3}z=\\ \kern{6em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}+\color{blue}{16}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}-\color{blue}{30}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}-\color{green}{7}x^{\,9}y^{\,3}z-\color{green}{3}x^{\,9}y^{\,3}z=\\ \kern{12em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}+(\color{blue}{16}-\color{blue}{30})x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}+(-\color{green}{7}-\color{green}{3})x^{\,9}y^{\,3}z=\\ \kern{18em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}-\color{blue}{14}x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}-\color{green}{10}x^{\,9}y^{\,3}z {\small .}\end{array}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{array}{l} x^{\,2}\cdot y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot 3y^{\,4}\cdot z^{\,3}+4y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,11}\cdot 4z^{\,7}-7x^{\,4}\cdot y^{\,3}\cdot z\cdot x^{\,5}+y\cdot z^{\,8}\cdot y^{\,7}-\\ \kern{16em} -10\cdot x^{\,7}\cdot y^{\,2}\cdot 3z^{\,4}\cdot y\cdot x^{\,4}\cdot z^{\,5}-z\cdot 3y^{\,2}\cdot x^{\,2}\cdot y\cdot x^{\,7}=\\ \kern{20em} =3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}-14x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}-10x^{\,9}y^{\,3}z {\small .}\end{array}\)


Ответ: \(\displaystyle 3x^{\,4}y^{\,7}z^{\,3}-14x^{\,11}y^{\,3}z^{\,9}+y^{\,8}z^{\,8}-10x^{\,9}y^{\,3}z{\small .}\)
 

Замечание / комментарий

Приведение подобных членов

Сложение или вычитание всех подобных слагаемых называется приведением подобных.