Skip to main content

Теория: Подобные одночлены, сумма и разность одночленов

Задание

Выполните действия с одночленами:
 

\(\displaystyle x\cdot y^{\, 2}\cdot x^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 15y^{\,3}\cdot z \, - \, x^{\,3}\cdot y\cdot z^{\,3}\cdot 2y^{\,4}\cdot x \, - \, y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot 3y^{\,2}\cdot (-2)z=\)
\(\displaystyle =\)
21x^3y^5z^3-2x^4y^5z^3


В ответе все одночлены должны быть записаны в стандартном виде.

Решение

Для того, чтобы найти сумму или разность одночленов, их надо сперва представить в стандартном виде. В выражении

\(\displaystyle x\cdot y^{\, 2}\cdot x^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 15y^{\,3}\cdot z-x^{\,3}\cdot y\cdot z^{\,3}\cdot 2y^{\,4}\cdot x-y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot 3y^{\,2}\cdot (-2)z\)

одночлены записаны не в стандартном виде. Преобразуем их:

\(\displaystyle \begin{aligned} &\quad \begin{aligned}{\small 1)\,} x\cdot y^{\, 2}\cdot x^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 15y^{\,3}\cdot z= 15\cdot (x\cdot x^{\,2})\cdot (\,y^{\, 2}\cdot y^{\,3})\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)&= 15\cdot x^{\,1+2}\cdot y^{\,2+3}\cdot z^{\,2+1}=\\ &=15x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3} {\small ;}\end{aligned}\\ &\quad \begin{aligned}{\small 2)\,} x^{\,3}\cdot y\cdot z^{\,3}\cdot 2y^{\,4}\cdot x= 2\cdot (x^{\,3}\cdot x\,)\cdot (\,y\cdot y^{\,4})\cdot z^{\,3}= 2\cdot x^{\,3+1}\cdot y^{\,1+4}\cdot z^{\,3}= 2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3} {\small ;}\end{aligned}\\ &\quad \begin{aligned}{\small 3)\,} y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot 3y^{\,2}\cdot (-2)z= (3\cdot (-2))\cdot x^{\,3}\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,2})\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)&= -6\cdot x^{\,3}\cdot y^{\,3+2}\cdot z^{\,2+1}=\\ &=-6x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3} {\small .}\end{aligned}\\ \end{aligned}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned} x\cdot y^{\, 2}\cdot x^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot &15y^{\,3}\cdot z-x^{\,3}\cdot y\cdot z^{\,3}\cdot 2y^{\,4}\cdot x-y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot 3y^{\,2}\cdot (-2)z=\\ &=15x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}-(-6x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3})= 15x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}+6x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}{\small .} \end{aligned}\)

 

Определим в полученном выражении те слагаемые, которые являются подобными одночленами.

Отбросим последовательно числовые коэффициенты у каждого слагаемого:

\(\displaystyle \color{blue}{15}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3} \rightarrow x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{2}x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3} \rightarrow x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}{\small ,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{6}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3} \rightarrow x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}{\small .}\)

Один и тот же одночлен \(\displaystyle x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}\) получился в первом и третьем случаях, значит, подобными являются только одночлены \(\displaystyle 15x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}\) и \(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}{\small .}\)

 

Выполним сложение и вычитание этих подобных одночленов:

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{15}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}+\color{blue}{6}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}&= \color{blue}{15}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}+\color{blue}{6}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}=\\ &=(\color{blue}{15}+\color{blue}{6})x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}=\color{blue}{21}x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3}{\small .} \end{aligned}\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle \begin{aligned} x\cdot y^{\, 2}\cdot x^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 15y^{\,3}\cdot z-x^{\,3}\cdot y\cdot z^{\,3}\cdot 2y^{\,4}\cdot x-y^{\,3}\cdot x^{\,3}\cdot &z^{\,2}\cdot 3y^{\,2}\cdot (-2)z=\\ &=21x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3} {\small .}\end{aligned}\)


Ответ: \(\displaystyle 21x^{\,3}y^{\,5}z^{\,3}-2x^{\,4}y^{\,5}z^{\,3} {\small .}\)