Skip to main content

Теория: Преобразование выражений с корнями

Задание

Раскройте скобки:


\(\displaystyle \sqrt{2}(2\sqrt{5}-7\sqrt{8})=\)
2\sqrt{10}-28

В ответе вынесите из под корня все множители, являющиеся квадратами натуральных чисел.

Решение

Умножим каждое слагаемое в скобках на \(\displaystyle \sqrt{ 2}{\small . } \) Тогда:

\(\displaystyle \sqrt{2}(2\sqrt{5}-7\sqrt{8})= \color{blue}{ \sqrt{2}}(2\sqrt{5}-7\sqrt{8})= \color{blue}{ \sqrt{ 2}}\cdot 2\sqrt{5}- \color{blue}{ \sqrt{ 2}}\cdot 7\sqrt{8} {\small . }\)

Перемножая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ 2}\cdot 2\sqrt{5}- \sqrt{ 2}\cdot 7\sqrt{8}&= 2\cdot \sqrt{ 2}\cdot \sqrt{5}- 7\cdot \sqrt{ 2}\cdot \sqrt{8}= 2\sqrt{ 2\cdot 5}- 7\sqrt{ 2\cdot 8} = 2\sqrt{ 10}- 7\sqrt{ 16}{\small . } \end{aligned}\)

Далее упростим иррациональное выражение, то есть вынесем из под корня множители, являющиеся квадратами, и вычислим значения корней (в натуральных числах). Получаем:

\(\displaystyle 2\sqrt{ 10}- 7\sqrt{ 16}= 2\sqrt{ 10}- 7\sqrt{ 4^2}= 2\sqrt{ 10}- 7\cdot 4= 2\sqrt{ 10}- 28 {\small . }\)

Ответ: \(\displaystyle 2\sqrt{ 10}- 28{\small . } \)